Première partie

I. La bulle de savon de sa naissance à sa mort

   1) Notions préliminaires

         a : La tension superficielle ou énergie de surface 

         Les objets plus denses que l'eau, c'est à dire de masse volumique plus grande, coulent. Néanmoins, il est possible de maintenir une aiguille ou un trombone en acier à la surface du liquide sans trop de difficulté. À volume égale, l'acier a pourtant une masse environ 8 fois plus grande que l'eau ! Mais regardez... 
 


        

         ... le trombone ne coule effectivement pas. On observe la surface de l' eau se courber sous l' objet : une sorte de "peau" se forme. Cette dernière caractérise le phénomène de tension superficielle. C'est elle qui permet au trombone de flotter. Dans la nature,  certains insectes (comme le guéris) en font usage pour marcher sur l'eau. Elle explique la forme sphérique d'une goutte d'eau. Nous allons dans cette sous partie voir ce qui la caractérise à l'échelle moléculaire puis définir précisément ce qu'est la tension superficielle.

Un guéris à la surface d'un cours d'eau 

Goutte d'eau qui conserve sa forme sphérique sur une surface hydrophobe où elle ne peut donc pas s'étaler
         
         La tension superficiel est un phénomène physico-chimique s'établissant entre deux fluides* non miscibles. Dans le cadre de notre T.P.E, nous allons uniquement l'étudier à l'interface liquide-gazplus précisément, à la surface de contact entre l'air et l'eau C'est celle qu'on rencontre dans le cas des bulles de savon. 

*Fluide : Corps sans forme fixe capable de s'écouler. Les fluides englobent deux état : liquide et gazeux. 


         Avant de définir la tension superficielle, commençons par expliquer son mécanisme. La tension superficielle résulte en fait des interactions intermoléculaires à la surface de l'eau. Ces dernières sont de type électrostatiques mais aussi chimiques. En effet, la tension superficielle est due à la fois :
  • à l'existence de forces électrostatiques dites de Van der Waals. Ces forces s'exercent entre molécules non chargées et peu éloignées entre-elles. Elles sont attractives et de faibles valeurs. Ainsi, au sein de l'eau, chaque molécule est attirée par ses quatre ou cinq voisines. Étant donné que les molécules d'eau exercent l'une sur l'autre une force égale, ces dernières se compensent. L'environnement symétrique de chaque molécule fait donc que la force subite par chacune d'entre-elles est en moyenne nulle. À l'inverse, en surface, on observe une dissymétrie. En effet, les molécules d'eau possède uniquement des voisines situées autour et en dessous d'eux. Au dessus, il n'y a que de l'air ; qui lui, du fait de sa faible densité, exerce une force attractive négligeable par rapport à l'eau. La résultante des forces est donc dans ce cas dirigée vers le bas. Ce constat fait que les molécules de surface confinent les molécules intérieurs. C'est pourquoi, la surface de l'eau aura tendance à se rétracter et donc à enfermer un volume d'eau dans la plus petite surface.


Schéma illustrant les interactions de Van der Waals au sein de l'eau

  • à la formation de liaisons hydrogènes entre les molécules d'eau. Ces dernières sont plus nombreuses à l'intérieur du liquide qu'à sa surface car les molécules intérieurs sont plus entourées. Or, la formation de liaisons permet à une molécule de perdre une petite quantité d'énergie. De plus, toute molécule tend vers un état chimique d'énergie minimale. C'est pourquoi, les molécules de surface, ayant un entourage moins grand, vont beaucoup plus se lier entre-elles que les molécules intérieurs. De cette manière, la cohésion des molécules de surface est renforcée ; autrement dit elles ont une structure plus condensée (c'est-ce qui permet au guéris tout comme au trombone de flotter). Néanmoins, cette cohésion plus importante ne suffit pas : l'énergie de surface demeure plus élevée que l'énergie intérieur. C'est pourquoi la surface d'un liquide va, afin de compenser ce manque, occuper le moins d'espace possible. En effet, l'énergie d'une surface est proportionnelle à son aire

       Les expériences qui suivent illustrent la minimisation de surface de l'eau dans différentes situations. Ces expériences sont réalisées avec de l'eau savonneuse car l'eau, étant un fluide, sa structure n'est pas stable pour occuper l'espace selon ses envies. Le savon stabilise la structure et rend l'eau capable d'occuper la plus petite surface possible à chaque fois.   
         Comme vous le voyez, le fil de coton est tiré par le film d'eau savonneuse. De plus, il prend la forme d'un arc de cercle, forme qui permet au film de minimiser sa surface au maximum. 


         On remarque que la barre de fer est tirée par le film gauche dont la tension superficielle n'est plus compensée par celle de droite.

Remarque :

         Cette propriété d'un film de savon peut s'avérer très pratique car elle permet de donner une réponse visuelle à certains problèmes mathématiques assez complexes ; comme le problème de Plateau. Ce dernier pose la question suivante : quelles est la surface minimale reliant  les contours d'une forme géométrique ? Par exemple, savez-sous quelle est la plus petite surface pouvant relier les douze arêtes d'un cube ? Réponse en image...



         On remarque à la fin de la vidéo que le film d'eau savonneuse prend la forme d'un cube aux faces bombées lorsqu'on insuffle de l'air. C'est sur ces genres d'expériences que Joseph Plateau* s'est basées pour étudier les surfaces minimales. Les films d'eau savonneuse lui ont ainsi permis de mettre en évidence plusieurs principes physiques. Aussi, des démonstrations mathématiques ont pu être vérifiées grâce aux films d'eau savonneuse.

*Joseph PlateauMathématicien et Physicien belge du XIXème siècle. 

Joseph Plateau

         Pour conclure, la tension superficielle de l'eau est due à la situation inégale que connaissent les molécules d'eau de surface par rapport aux molécules intérieurs. Elle a deux conséquences
  • L'eau fait toujours en sorte d'occuper le moins de surface possible. 
  • La cohésion des molécules d'eau de surface est plus importante que celles à l'intérieur du liquide. 

DÉFINITIONS : 

        On peut définir la tension de surface de deux façon d’où le "s". Ces deux définitions possibles expliquent le fait qu'on nomme ce phénomène tension superficielle mais aussi énergie de surface
        Tout d'abord, on parle d'énergie de surface car elle correspond à l'accroissement d'énergie nécessaire pour augmenter l'aire d'une surface . Deux causes déjà explicitées précédemment expliquent pourquoi agrandir une surface nécessite de l'énergie
  • il existe une force dirigée de la surface du liquide vers l'intérieur. Pour amener une molécule en surface, autrement dit créer de l'interface, il faudra par conséquent apporter de l'énergie (afin de compenser cette force) ;
  • les molécules de surface sont liées par des forces de cohésion. Pour étirer la surface, il faudra donc apporter de l'énergie une fois encore pour compenser ces forces. 
      Afin de définir ce qu'est l'énergie de surface, on va chercher une relation qui nous permet de déterminer sa valeur. Dans ce but, on doit rappeler que l'énergie de surface est proportionnelle à l'aire de la surface. Pour le dire autrement, il y a proportionnalité entre le travail* à apporter dW et l'accroissement de la surface dS. Le coefficient qui relie ces deux grandeurs est l'énergie de surface σ. On a donc :

dW = σ x dS ⇔ σ = dW/dS

L'énergie de surface s'exprime en Joules par mètre carré

*Travail : C'est l'énergie fournie par une force dont le point d'application se déplace. 

         La tension superficielle σ correspond elle à la force F tangente à la surface qu'il faut appliquer pour produire la même variation dS. On a donc aussi :
         σ=F/dS

La tension superficielle s'exprime en Newton par mètre

          On retient surtout de cet étude le fait que l'eau fait toujours en sorte minimiser sa surface à cause de la tension superficielle. Cette caractéristique nous permet d'affirmer que pour étendre la surface occupée par l'eau, il est nécessaire de diminuer sa tension superficielle. Comme on le verra plus tard, ce procédé est essentiel pour fabriquer une bulle de savon. Pour le mettre en oeuvre, on a besoin de tensioactifs...


         b : Un tensioactif (ou surfactan)
         

            Un tensioactif est une petite molécule (de l'ordre de quelques nanomètres) assimilable à un petit bâtonnet. On la qualifie d'amphiphile car elle est à la fois constituée d'une tête polaire* pouvant interagir avec un liquide polaire et d'une queue apolaire* moins disposée à de telles interactions. L'eau, étant un solvant polaire, ces deux parties sont antagonistes : la tête est hydrophile (aime l'eau) alors que la queue est hydrophobe (n'aime pas l'eau). La partie hydrophile  est issue de coproduits de l'industrie de l'amidon et du sucre. La partie hydrophobe provient de matières premières oléo-chimiques dérivées du colza, tournesol, palme, etc. Par exemple, pour les tensioactifs présents dans le savon, l'huile apporte la partie hydrophobe et la soude la partie hydrophile

*Différence polaire/apolaire : Une molécule est dite polaire si elle possède deux pôles : l'un négatif et l'autre positif. Elle peut par conséquent former des liaisons hydrogène avec toute molécule chargéeÀ l’inverse, une molécule apolaire ne possède pas de pôle particulier ; ses charges sont équitablement réparties

Représentation schématique d'une molécule de tensioactif

         
Il existe différents types de tensioactifs. Celui présent dans le savon est l'ion carboxylate. Son extrémité polaire est chargée négativement : c'est pourquoi il fait partie des tensioactifs dits anioniques. Cette charge lui permet d'avoir des affinités avec le pôle positif d'une molécule d'eau. La partie apolaire de l'ion carboxylate est quant à elle électriquement neutrePlus précisément, la tête de cet ion est formée du groupe carboxilate COO- et sa queue d'une chaîne hydrocarbonée
Formule topologique de l'ion carboxylate
         
         La longueur de la chaîne varie en fonction de l'huile utilisée lors de la fabrication (12 à 20 groupe CH2).

Formule semi-développé du groupe carboxylate

                 Un tensioactif a pour propriété de diminuer considérablement la tension superficielle  d'un liquide et cela grâce à ses deux partie antagonistes. Les composants de cette molécule font en fait qu'elle se place spontanément à l'interface liquide-gaz : la tête dans l'eau et la queue à l'air. En grand nombre, les tensioactifs peuvent couvrir tout une interface. Or, en surface, les tensioactifs subissent une force attractive beaucoup moins grande que les molécules d'eau. Ainsi, la tension de surface diminue. L'expérience qui suit le montre... 

         
         Le trombone coule car la tension superficielle n'est plus assez élevée pour le maintenir en surface.


    2) La naissance d'une bulle de savon



         Tout le monde sait comment fabriquer une bulle de savon : il faut mélanger de l'eau et du savon puis injecter de l'air à l'intérieur de la solution obtenue pour voir des bulles se former à sa surface. Mais..., de façon plus détaillée, qu'en est-il ? 
Distinguons les étapes de la formation d'une bulle de savon :


  • État initial : On a de l'eau à l'état liquide dans un récipient. Sa tension superficielle est élevée (72 milliNewton par mètre pour l'eau pure) ; il est donc impossible de former une bulle durable. On peut essayer d'y insuffler de l'air : des fines pellicules sphériques d'eau se forment certes mais elles disparaissent très rapidement car leur structure n'est pas stable. Ce sont des molécules tensioactives comme celles présentes dans le savon qui vont venir abaisser la tension superficielle (de 35 milliNewton par mètre en moyenne) et stabiliser la bulle d'eau
  • L'ajout de savon : Les molécules de savon,étant tensioactives, elles se placent spontanément a l'interface air-eau de manière à présenter leur tête coté eau et leur queue coté air. Leur relative solubilité font que certaines d'entre-elles demeurent dans l'eau. Une fois la surface recouverte par ces tensioactifs, ceux dissous se regroupent pour former des amas structurés sphériques (de diamètre 3 nanomètres) appelés micelles . Ces dernières permettent de minimiser le contact des chaines apolaires avec les molécules d'eau environnante. Lorsque ce phénomène se produit, on dit que la concentration de tensioactif en solution dépasse la concentration micellaire critique (cmc). Atteindre ce seuil est primordial pour faire naître une bulle de savon
  • Insertion d'air : Lorsqu'on insuffle de l'air dans la solution d'eau savonneuse, celle-ci va pénétrer à l'intérieur des micelles par attraction de leur chaines. Ces micelles remplis d'air remontent à la surface et emportent les molécules de savon alors présentes en surface. Les molécules d'eau, du fait de leur faible tension superficielle, arrivent s'étaler entre les deux mono-couches de molécules de savon. La bulle de savon vient de naître. Un film d'eau savonneuse emprisonne de l'air

         La petite bande dessiné qui suit reprend de façon assez simplifiée la naissance d'une bulle de savon.

Naissance d'une bulle de savon
    
   3) La vie d'une bulle de savon


       On a vu que les molécules de savon rendait la bulle plus stableOui ; mais que font- elles concrètement pour retarder son éclatement ? Leur action est en fait double :

  • D'une part, elles confinent l'eau et ralentissent ainsi le drainage du liquide , c’est-à-dire son écoulement vers le bas sous l'effet de la gravité. On verra les conséquences dévastatrices de ce phénomène dans la partie consacrée à la mort de la bulle de savon.
  • D'autre part, les deux mono-couches de molécules de savon se repoussant du fait de leur charge négative commune (interactions électromagnétiques répulsives), elles maintiennent l'épaisseur du film et augmentent ainsi la durée de vie de la bulle.
          
        En outre, une deuxième question se pose naturellement : pourquoi une bulle de savon prend-elle une forme sphérique ?
                   Pour y répondre, il faut allier mathématiques et physiques. Tout d'abord, on doit rappeler que l'eau a pour propriété physique de toujours minimiser au mieux sa surface. Cependant, dans le cas des bulles de savon,  l'eau intercalée entre les deux parois, est soumise à une contrainte supplémentaireenvelopper un volume d'air donné. C'est pourquoi, elle adopte une forme sphérique ; une forme optimale qui lui permet d'englober un volume d'air donnée dans la plus petite surface possible. Cette caractéristique de la sphère,  n'a été démontrée que tardivement en 1882 par le mathématicien allemand Hermann Amandus Schwarz : elle a été l'enjeu du problème isopérimétrique* en dimension 3. Il s'agissait de démontrer l'inégalité isopérimétrique suivante : 

V²  S³/36 π
avec V le volume du solide et S sa surface



Remarque : L'égalité est vérifiée uniquement dans le cas de la sphère. En effet, en prenant R le rayon de la sphère, on a : 


  • V² = ((4/3) π R³)² = (16/9) π² R^6
  • S³/36 π = (4 π R²)³/36 π = 64 π³ R^6/36 π = (16/9) π² R^6
  • D'où V² = S³/36 π.
         Tous les autres solides possèdent un plus petit volume pour une même surface. La sphère possède donc une surface qui englobe le maximum de volume. 


Hermann Amandus Schwarz

*Isopérimétrie : C'est l'étude des formes géométriques de même périmètre. Cet étude peut se faire dans le plan (2 dimensions) mais aussi dans l'espace (3 dimensions). 


         Ce problème, étant assez complexes (du moins pour nous, élèves de première), on a fait le choix de ne pas aller plus loin dans son explication. On a néanmoins pris le temps de vérifier le théorème expérimentalement
   
         Dans ce but, on a comparé les surfaces de différents polyèdres réguliers* en se fixant un volume V=10cm³. Le tableau suivant récapitule les aires obtenues et indique le pourcentage de différence avec la surface de la sphère. On profite de cette phrase pour spécifier que nous utilisons les termes "aire"et "surface" comme synonymes. 

*Un polyèdre régulier :
C'est un solide particulier ;  ses faces sont des polygones réguliers identiques et ses sommets sont de même degrés



Solides
Volume 
(en cm³)

Aires
(en cm²)

Pourcentage de différence avec la surface d'une sphère
Tétraèdre
100
155,24
49,00%
Cube
100
129,27
24,07%
Dodécaèdre
100
114,44
18,26%
Octaèdre
100
123,21
9,84%
Icosaèdre
100
110,92
6,46%
Sphère
100
104,19
/

         Voici le détail des calculs. Pour chaque polyèdre régulier, on a déterminé la longueur a  de l'arête pour V = 100 cm3 et déduit l'aireComme vous allez le voir, les calculs sont assez simples. C'est d'ailleurs pour cette raison que l'on a uniquement traiter le cas des polyèdres réguliers. La tâche se serait considérablement complexifiée avec les solides non réguliers. 


Volume du tétraèdre
V=√2/12*a
a3=V*12/√2
a3=100*12/√2
a3=1200/√2
a3=848,53
a3=3√848.53
a=9,47 cm
Aire du tétraèdre
A=√3*a²
A=√3*9,47²
A=√3*89,6809
A=155,2404142
A=155,24 cm²
Volume de l'octaèdre 
V=1/3*√2*a3
V= √2/3*a3
a3=V/√2/3
a3=300/√2
a3= 212,1320344
a=3√212,1320344
a=5,963969572 cm
Aire de l'octaèdre
A=2√3*a3
A= 2√3*5,96²
A=2√3*35,5216
A=123,21 cm²
Volume du cube
V=a3
100=a3
a=3√100
a=4,64 cm
Aire du cube
A=6a²
A=6*4,64²
A=129,2660814
A=129,27 cm²
Volume de l'icosaèdre
V=5/12*(3+5*(3+√5))*a3
V=5*(3+√5)/12*a3
a3=V/5*(3+√5)/12
a3=V*12/5*(3+√5)
a3=1200/5*(3+√5)
a3=45,87
a=3√45,87
a= 3,58 cm
Aire de l'icosaèdre
A=5√3a²
A=5√3*3,58²
A= 5√3*12,8164
A=104,1879416
A=104,19 cm²
Volume du dodécaèdre
V=(15+7√5)/4*a3
a3=V/(15+7√5)/4
a3=V*4/(15+7√5)
a3=100*4/(15+7√5)
a3=400/(15+7√5)
a=3√13,05
a=2,35 cm
Aire du dodécaèdre
A=3√25+10√5*a²
A=3√25+10√5*2,35²
A=114,44 cm²
Volume de la sphère
V=4 π*R3/3
R3=V*3/4 π
R3=100*3/4 π
R3=300/4 π
R3=23,87
R=3√23,87
R=2,88 cm
Aire de la sphère
A= 4 π*R²
A= 4 π*2,88²
A=4 π*8,2944
A=104,23 cm²


    


4) La mort d'une bulle de savon 




         L'éclatement d'une bulle est inévitablePourquoi ? Parce qu'elle est soumise à des contraintes naturelles qui modifient sa structure. Les deux principales sont la gravité et la pression. Quels actions ces facteurs naturels exercent-ils sur la bulle pour provoquer son éclatement ? 

         La gravité épaissit indirectement la couche d'eau inférieur de la bulle de savon. En effet, sous l'effet de celle- ci : l'eau, intercalée entre les deux couches de savon, glisse vers le bas de la bulle. La couche d'eau s'épaissit en bas en même temps qu'elle s'amincit en haut. Dans la phase supérieure, les deux couches de savon se rapproche de plus en plus. Lorsque la couche d'eau disparaît, elles se repoussent car elles sont toutes deux chargées négativement. Dans la phase inférieure, les molécules de savon ont de plus en plus de mal à contenir la couche d'eau qui gagne en poids. La bulle de savon finit par éclater.

         La pression quant à elle exerce des forces opposées à l'intérieur et à l'extérieur de la bulle de savon. La pression intérieure pousse la paroi à s'agrandir tandis que la pression extérieure elle la pousse à devenir plus petite. Ces forces qui s'exercent ainsi sur le film d'eau savonneuse participe à modifier sa structure et donc à l'éclatement de la bulle 

         D'autre part, un autre type de facteur peut faire éclater une bulle de savon : le contact avec un objet non recouvert d'eau et de savon. En effet, un tel objet rompt la membrane. De l'air entre dans la bulle augmentant ainsi sa pression intérieur. La bulle finit par éclater. On voit encore une fois ici que modifier la structure de la paroi d'une bulle de savon lui est fatal

Schéma bilan

         Après avoir identifier les causes, il est intéressant d'analyser la conséquence ; à savoir l'éclatement. Quel est son déroulement ? 
         L'éclatement d'une bulle de savon est très bref : le film d'eau savonneuse prend seulement quelques millisecondes pour disparaître entièrement. Pour observer en détail l'événement, on a besoin d'une caméra rapide. Voici un ralenti trouvé sur Youtube. La caméra utilisé ici capture 1800 images par secondes. 



         Cette vidéo met en évidence la projection de gouttelettes d'eau au moment de l'éclatement. Une fois la structure rompue, la pellicule de tensioactifs se déchirent libérant ainsi la couche d'eau qu'elle encloisonnait.